Reunanylityslause

Reunanylityslause on topologiaan liittyvä seuraava tulos: Olkoon $X$ topologinen avaruus, osajoukko $E\subset X$ yhtenäinen ja $A\subset X$. Jos $E$ kohtaa sekä $A$:n että $X\setminus A$:n, niin $E$ kohtaa myös $A$:n reunan $\partial A$.

Todistus

Merkitään $U=\mathrm {int} \;A$ ja $V=\mathrm {ext} \;A$. Jos $E\cap \partial A=\emptyset$, niin $E\subset U\cup V$. Sisäpisteen ja ulkopisteen määritelmästä seuraa $U\cap V\cap E=\emptyset \;$ ja oletuksista seuraa $\;U\cap E\neq \emptyset \neq V\cap E$. Nyt $E=(U\cap E)\cup (V\cap E)$. Koska joukot $U\cap E$ ja $V\cap E$ ovat erillisiä, epätyhjiä ja $E$:ssä avoimia, niin $E$ on epäyhtenäinen. Tämä on ristiriita oletusten kanssa, joten täytyy päteä $E\cap \partial A\neq \emptyset$.

Vaihtoehtoinen todistus:

Tehdään vastaoletus, $E$ ei kohtaa $A$:n reunaa: $E\cap \partial A=\emptyset$. Eli $E\cap \partial A=E\cap ({\bar {A}}\setminus int\ A)=E\cap {\bar {A}}\cap \complement int\ A=\emptyset$.

Olkoon $B=E\cap A\neq \emptyset$ ja $C=E\cap \complement A\neq \emptyset$ (oletukset). Nyt $E=B\cup C$. Tutkitaan sitten leikkauksia $B\cap {\bar {C}}$ ja ${\bar {B}}\cap C$.

$B\cap {\bar {C}}=(E\cap A)\cap ({\overline {E\cap \complement A}})=E\cap A\cap {\overline {E}}\cap {\overline {\complement A}}=E\cap A\cap \complement int\ A$, joka on vastaoletuksen ja sulkeuman määritelmän nojalla $\emptyset$. ${\bar {B}}\cap C=({\overline {E\cap A}})\cap (E\cap \complement A)={\overline {E}}\cap {\overline {A}}\cap E\cap \complement A=E\cap {\overline {A}}\cap \complement A$, joka on vastaoletuksen ja säännon $int\ A\subset A$ nojalla $\emptyset$.

Joukko $E$ siis separoituu, joten se ei ole yhtenäinen. Tämä on ristiriita. Täten alkuperäinen väite on tosi. $\square$