Neperin luku

Wikipedia

Neperin luku on matemaattinen vakio, jonka likiarvo viidentoista desimaalin tarkkuudella on $2,718281828459045$ , ja jolle on kiinnitetty merkintä $e$ . Neperin luku on luonnollisen logaritmifunktion kantaluku. Se on saanut nimensä skotlantilaisen matemaatikon John Napierin mukaan. Napier itse ei käyttänyt kantalukua $e$ , mutta jälkeenpäin on huomattu, että hänen logaritmien laskujärjestelmänsä on liittynyt luonnolliseen logaritmiin. Neperin luku on irrationaalinen ja transsendenttinen. Transsendenttisuustodistuksen antoi Charles Hermite vuonna 1873.

Neperin luku on määritelmän mukaan $e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

[muokkaa] Todistus

Tutkittaessa eksponenttifunktioiden derivaattoja havaitaan, että löytyy tapaus, jolloin $c x = D (c x)$ , kun $c = e\,\!$ . Toisin sanoen neperin luku on siis määritelty niin, että funktio $f(x) = c^x\,\!$ ja sen derivaatta ovat täsmälleen samoja kun $c = e\,\!$ :

Olkoot $f(x_0) = c^{x_0},\ c \in \mathbb{R}$ . Määritelmän mukaan:

$f(x_0) = f'(x_0)\,\!$

$c^{x_0} = D(c^{x_0})\,\!$

$c^{x_0} = \lim_{x \to x_{0+}}\left(\frac{c^x - c^{x_0}}{x - x_0}\right)\,\!$

$c^{x_0} = c^{x_0}\lim_{x \to x_{0+}}\left(\frac{c^{\frac{1}{\infty}} - 1}{x - x_0}\right)\,\!$

$1 = \frac{c^{\frac{1}{\infty}} - 1}{\frac{1}{\infty}}\,\!$

$\frac{1}{\infty} = c^{\frac{1}{\infty}} - 1$

$1 + \frac{1}{\infty} = c^{\frac{1}{\infty}}$

$\left(1 + \frac{1}{\infty}\right)^\infty = c$

Saadaan siis:

$c = \left(1 + \frac{1}{\infty}\right)^\infty$

Määritetään vielä, että $c = e$ .

$e = \left(1 + \frac{1}{\infty}\right)^\infty$

$e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

Todistus yleisemmin, että jonolla $x^n = \left(1+\frac{r}{n}\right)^n, r \in \mathbb{R}$ on raja-arvo:

i) (x_n) on nouseva niillä, joilla n > | r |:

Jolloin pätee: 1 + r/n ≥ 1 - | r |/n > 1 - 1 = 0 ⇒ x_n > 0.

x_n+1/x_n = (1+r/(n+1))ⁿ⁺¹/(1+r/n)ⁿ = (1+r/n)aⁿ⁺¹

jossa a = (1 + r/(n + 1))/(1 + r/n) = n(n + 1)(1 + r/(n + 1))/(n(n + 1)(1 + r/n)) = (n² + n + rn)/(n² + nr + n + r) = (n² + n + rn + r - r)/(n² + nr + n + r) = 1 - r/((n + 1)(n + r)) =: 1 - t

jos r ≤ 0

niin 0 ≥ r((n + 1)(n + r))

jos r > 0

niin r/((n + 1)(n + r)) < 1/(n + 1) < 1

eli joka tapauksessa -t > -1 ⇒

Bernoullin epäyhtälö: (1 - t)ⁿ⁺¹ ≥ 1 - t(n + 1) = 1 - r/(n + r) = n/(n + r) ⇒

x_n+1/x_n = (1 + r/n)(1 - t)ⁿ⁺¹ ≥ (1 + r/n)n/(n + r) = 1 ⇒

x_n+1 ≥ x_n.

ii) x_n on ylhäältä rajoitettu:

(1 + r/n)(1 - r/n) = 1 - r²/n² ≤ 1 ⇒

(1 + r/n) ≤ (1 - r/n)^-1 kun n > | r |

x_n = (1 + r/n)ⁿ ≤ (1 - r/n)^-n kun n > | r |

Olkoon k pienin kokonaisluku, jolle pätee k > | r |

i:stä seuraa, että (1 - r/n)ⁿ on nouseva kun n ≥ k ⇒

(1 - r/n)ⁿ ≥ (1 - r/k)^k kun n ≥ k ⇒

(1 - r/n)^-n ≤ (1 - r/k)^-k =: S kaikilla n ≥ k ⇒

x_n ≤ S kaikilla n ≥ k joten xⁿ on ylhäältä rajoitettu.

MOT

[muokkaa] Vaihtoehtoisia esitysmuotoja

$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + \ldots$ .

Luku $e$ voidaan myös esittää seuraavanlaisena äärettömänä tulona, joka tunnetaan Pippengerin tulona:

$e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{\frac{1}{2}} \left ( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \right )^{\frac{1}{4}} \left ( \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \right )^{\frac{1}{8}} \cdots$