Kultainen neljäkäs

Kultainen neljäkäs

Kultainen neljäkäs on geometriassa neljäkäs, jonka lävistäjien suhde on ${\frac {p}{q}}=\varphi \!$, missä $\varphi \!={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618$ on kultainen suhde.

Mittasuhteet

Kultaisen neljäkkään kulmat ovat

$2\arctan {\frac {1}{\varphi }}=\arctan {2}\approx 63.43495$ astetta

$2\arctan \varphi =\arctan {1}+\arctan {3}\approx 116.56505$ astetta, mikä on sama kuin säännöllisen dodekaedrin diedrikulma.

Jos kultaisen neljäkkään lyhemmän sivun pituus on a, sen pidempi sivu on b = \phi a, ja kuvion jokaisen sivun pituus on q, kuvion jokaisen sivun pituus on

${\begin{array}{rcl}c&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\&=&{\tfrac {a}{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\\&=&{\tfrac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\\&\approx &0.95106a\end{array}}$

Tällaisen neljäkkään pinta-ala on

$A=\varphi \ a^{2}/2\approx 0.80902a^{2}$

Jos taas neljäkkään sivujen pituus c tunnetaan, sen lävistäjien pituudet ovat

${\begin{array}{rcl}a&=&4a{\frac {1}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}\\&\approx &1.05146\end{array}}$ ja

${\begin{array}{rcl}b&=&2a{\frac {1+{\sqrt {5}}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}\\&\approx &1.70130a\end{array}}$,

ja tällaisen neljäkkään pinta-ala on

$A={\frac {2c^{2}}{\sqrt {5}}}$

Jos kultaisen neljäkkään sivujen keskipisteet yhdistetään janoilla, saadaan kultainen suorakulmio, joka siis on kultaisen neljäkkään duaali.

Monitahokkaat

Muutamilla huomattavilla monitahokkailla on sivuina kultaisia neljäkkäitä. Sellaisia ovat kaksi kultaista romboedria, joista kummallakin on kuusi tahkoa, 12-tahkoinen Bilinskin dodekaedri, 20-tahkoinen rombinen ikosaedri, 30-tahkoinen rombinen triakontaedri sekä ei-kupera 60-tahkoinen rombinen heksekontaedri. Näistä viisi ensimmäistä ovat ainoat kuperat monitahokkaat, joiden tahkot ovat kultaisia neljäkkäitä. Sen sijaan erilaisia ei-kuperia monitahokkaita, joiden kaikki tahkot ovat tämän muotoisia, on äärettömän monta

• 
  Teräväkulmainen kultainen romboedri
• 
  Tylppäkulmainen kultainen romboedri
• 
  Bilinskin dodekaedri
• 
  Rombinen ikosaedri
• 
  Rombinen triakontaedri
• 
  Rombinen heksekontaedri

Lähteet

• M. Livio: The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number, s. 206. New York: Broadway Books, 2002.