Ketjukäyrä

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Ketjukäyriä parametrin a eri arvoilla
Roikkuva ketju asettuu ketjukäyrän muotoiseksi.

Ketjukäyrä eli ketjuviiva, köysiviiva tai katenaari (lat. catenaria) on hyperbolisen kosinin kuvaaja. Nimensä käyrä on saanut siitä, että kahden tukipisteen varaan ripustettu taipuisa ketju (lat. catena) tai köysi asettuu tämän käyrän muotoiseksi.[1]

Ketjukäyrän yhtälö on

,

missä merkitsee hyperbolista kosinia.[1] Käyrä leikkaa y-akselin pisteessä (0,a), jossa funktiolla on minimi tai maksimi riippuen siitä, onko a positiivinen vai negatiivinen.

Yleisemmässä tapauksessa, jossa käyrän maksimi- tai minimikohta ei välttämättä sijaitse y-akselilla vaan mielivaltaisessa pisteessä (, ), yhtälö voidaan esittää muodossa

.

Kun ketjukäyrä esittää ketjun tai köyden muotoa, parametrien a, ja arvot määräytyvät tietyistä reunaehdoista, joita tavallisimmin asettavat ketjun tai köyden pituus sekä sen kiinnityspisteiden sijainnit.

Ominaisuuksia

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koska hyperbolinen kosini on parillinen funktio, ketjukäyrä sen kuvaajana on symmetrinen y-akselin suhteen.

Ketjukäyrä muistuttaa muodoltaan paraabelia, erityisesti y-akselin läheisyydessä.[2] Tämä johtuu siitä, että hyperbolisella kosinilla on Taylorin sarjakehitelmä:

[3]

Kun x on pieni, sarjakehitelmän muut paitsi kaksi ensimmäistä termiä ovat erittäin pieniä ja käyrän yhtälö voidaan pyöristää muotoon

tai yleisemmässä tapauksessa

,

minkä yhtälön kuvaaja on paraabeli. Kun x on arvoltaan kaukana nollasta, ketjukäyrä nousee kuitenkin huomattavasti nopeammin kuin tämä paraabeli.

Kaaren pituus

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ketjukäyrän kaaren pituus y-akselilta pisteeseen (x, a cosh (x/a)) on

,

missä funktio sinh on hyperbolinen sini.[1]

  1. a b c Catenary MathWorld. Viitattu 12.9.2011.
  2. The Catenary (pdf) ocw.tudelft.nl. Arkistoitu 21.1.2012. Viitattu 12.9.2011.
  3. Hyperbolic Cosine MathWorld. Viitattu 12.9.2011.

Aiheesta muualla

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.