Kardioidi

Vierivän ympyrän muodostama kardioidi.

Kardioidi.

Kardioidi (kreikan sanasta καρδία ’sydän’) on tasokäyrä, jonka piirtää ympyrän kehälle laitettu piste kun ympyrä vierii samansäteisen ympyrän kehää pitkin. Se on limaçon-käyrän erikoistapaus (r = d) ja se voidaan määritellä yksikulmaiseksi episykloidiksi. Se on tyypiltään sinimuotoinen spiraali ja käänteinen käyrä paraabelille.

Yhtälöt

Käyrän nollapiste sijaitsee paikallaan pysyvän ympyrän keskipisteessä. Jos ympyrän keskipiste on origossa ja sen säde on a, kardioidin parametriesitys on:

$x=a(2\cos t-\cos 2t),\,$

$y=a(2\sin t-\sin 2t).\,$

Sama kompleksitasossa:

$z=a(2e^{it}-e^{2it}).\,$

Jos parametri t eliminoidaan yhtälöstä, saadaan kardioidin yhtälöksi

$(x^{2}+y^{2}-a^{2})^{2}-4a^{2}((x-a)^{2}+y^{2})=0.\,$

tai kompleksitasossa

$(z{\bar {z}}-a^{2})^{2}-4a^{2}(z-a)({\bar {z}}-a)=0$.

Mittasuhteet

Kardioidin sulkema alue voidaan laskea polaariesityksellä:

$A=6\pi a^{2}\,$

ja myös kardioidin kaaren pituus voidaan laskea tarkasti. Kokonaispituus L on:

$L=16a\,$.

Mandelbrotin joukon keskiosa on kardioidi.

Katso myös

• Neproidi
• Deltoidi
• Pascalin simpukka
• Wittgensteinin sauva
• Kardioidimikrofoni
• Silmukka-antenni
• Radio direction finding eli tutkan koodinimi.
• Yagi-antenni