Riemannin–Stieltjesin integraali

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Riemannin–Stieltjesin integraali on eräs Riemannin integraalin yleistys. Se on saanut nimensä Thomas Joannes Stieltjesin ja Bernhard Riemannin mukaan. Riemannin–Stieltjesin integraali voidaan määritellä joko summien tai ylä- ja alarajojen avulla. Tässä artikkelissa integraali on määritelty ylä- ja alarajojen avulla.

Riemannin–Stieltjesin integraali on muotoa
,
missä funktiota f kutsutaan integrandiksi ja funktiota g integraattoriksi.
Integraali voi myös olla muotoa
.

Määritelmä

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon α kasvava funktio välillä [a,b]. Välin [a,b] osituksella P tarkoitetaan pistejoukkoa , missä

a= = b.

Merkitään

= , missä (i = 1, , n).

Oletetaan, että f on rajoitettu reaalifunktio välillä [a,b]. Jokaisella osituksella P välillä [a,b] asetetaan

= sup f(x) ( ≤ x ≤ )

= inf f(x) ( ≤ x ≤ ).

Jokaiselle ositukselle P välillä [a,b] voidaan merkitä

α = α() - α().

On selvää, että α ≥ 0. Jokaiselle reaalifunktiolle f, joka on rajoitettu välillä [a,b], asetaan

U (P, f, α) = ,

L (P, f, α) = .

Jos

,

missä supremum ja infimum otetaan kaikkien ositusten yli, niin yhteistä arvoa merkitään

tai . Tätä kutsutaan funktion f Riemannin–Stieltjesin integraaliksi tai yksinkertaisemmin Stieltjesin integraaliksi :n suhteen yli välin [a,b].

Riemannin–Stieltjesin integraalin yhteys Riemannin integraaliin

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkitsemällä nähdään, että Riemannin integraali on erikoistapaus Riemannin–Stieltjesin integraalista:

.

Yleisissä tapauksissa :n ei tarvitse olla jatkuva.

Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuuksia

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuudet muistuttavat pitkälti Riemannin integraalin ominaisuuksia.
Seuraavassa esitellään muuttujan vaihto sekä integraalin lineaariominaisuudet.

Muuttujan vaihto

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon funktio välillä [a,b] ja g aidosti monotoninen ja jatkuva funktio, joka on määritelty välillä S=[a,b]. Oletetaan, että a = g(c) ja b = g(d) sekä funktiot h ja ovat yhdistettyjä funktioita, jotka on määritelty seuraavasti

,

jos .
Silloin funktio välillä S ja
.

Lineaariominaisuudet

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos ja välillä [a,b], niin

välillä [a,b] ja

.

Kirjallisuutta

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]